CS229：09-生成学习算法的例子

例一：高斯判别分析和 logistic 函数

我们来看一个例子，对于一个高斯判别分析问题，根据贝叶斯：

$\begin{align} p(y=1|x) &= \frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x)} \\\ &= \frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x|y=0)p(y=0)+p(x|y=1)p(y=1)} \end{align}$

在这里，我们提出几个假设：

$p(y)$是均匀分布的，也就是$p(y=1)=p(y=0)$
$x$的条件概率分布（$p(x|y=0)$和$p(x|y=1)$）满足高斯分布。

考虑二维的情况：

蓝色数据表达的是$p(x|y=0)$的分布，红色数据表达的是$p(x|y=1)$的分布，两条蓝色和红色的曲线分别是它们的概率密度曲线。

而灰色的曲线则表示了$p(y=1|x)$的概率密度曲线。

假设$p(x|y=0) \sim N(\mu_0, \sigma_0)$，$p(x|y=1) \sim N(\mu_1, \sigma_1)$，而$p(y)$均匀分布那么：

$\begin{align} p(y=1|x) &= \frac{N(\mu_0,\sigma_0)}{N(\mu_0,\sigma_0)+N(\mu_1,\sigma_1)} \\\ &= \cdots \\\ &= \frac{1}{1+\frac{\sigma_0}{\sigma_1}exp(2\sigma_1^2(x-\mu_0)^2-2\sigma_0^2(x-\mu_1)^2} \end{align}$

事实上，这条曲线跟我们之前见过的logistic曲线非常像，特别是当我们假设$\sigma_0=\sigma_1$的时候，就是一条logistic曲线。

我们有如下的推广结论：

${\begin{cases} p(x|y=1) \sim Exp Family(\eta_1) \\\ p(x|y=0) \sim Exp Family(\eta_0) \end{cases}} \Rightarrow p(y=1|x)是logistic函数$

但这个命题的逆命题并不成立，故而我们知道，logistic所需要的假设更少（无需假设$x$的条件概率分布），鲁棒性更强。而生成函数因为对数据的分布做出了假设，所以需要的数据量会少于logstic回归，我们需要在两者之间进行权衡。

例二：垃圾邮件分类（1）

这里我们会用朴素贝叶斯（Naive Bayes）来解决垃圾邮件分类问题（$y\in \lbrace 0, 1 \rbrace$）。

首先对邮件进行建模，生成特征向量如下：

$x= \begin{bmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \\\ \vdots \\\ 1 \\\ \vdots \end{bmatrix} \begin{matrix} a \\\ advark \\\ ausworth \\\ \vdots \\\ buy \\\ \vdots \end{matrix}$

这是一个类似于词频向量的特征向量，我们有一个 50000 个词的词典，如果邮件中出现了某个词汇，那么其在向量中对应的位置就会被标记为 1，否则为 0。

我们的目标是获取，垃圾邮件和非垃圾邮件的特征分别是怎么样的，也即$p(x|y)$。$x={\lbrace 0, 1 \rbrace}^n, y \in \lbrace 0, 1 \rbrace$，这里我们的词典中词汇数量是 50000，所以$n=50000$，特征向量$x$会有$2^{50000}$种可能，需要$2^{50000}-1$个参数。

我们假设$x_i|y$之间相互独立(虽然假设各个单词的出现概率相互独立不是很合理，但是即便这样，朴素贝叶斯的效果依旧不错)，根据朴素贝叶斯，我们得到：

$p(x_1, x_2, \ldots, x_{50000}|y)=p(x_1|y)p(x_2|y) \cdots p(x_{50000}|y)$

单独观察$p(x_j|y=1)$：

$p(x_j|y=1) = p(x_j=1|y=1)^{x_j}p(x_j=0|y=1)^{1-x_j}$

给定三个参数：

$\begin{align} \phi_{j|y=1} &= p(x_j=1|y=1) \\\ \phi_{j|y=0} &= p(x_j=1|y=0) \\\ \phi_y &= p(y = 1) \end{align}$

故：

$\begin{align} p(x_j|y=1) &= \phi_{j|y=1}^{x_j}(\phi_y - \phi_{j|y=1})^{1-x_j}\\\ p(x_j|y=0) &= \phi_{j|y=0}^{x_j}(1-\phi_y + \phi_{j|y=0})^{1-x_j} \\\ p(x_j|y) &= p(x_j|y=1)^yp(x_j|y=0)^{1-y} \\\ p(y) &= \phi_y^y(1-\phi_y)^{1-y} \end{align}$

按照上个博客生成学习算法的概念中所述，我们会选用联合概率分布的极大似然来导出最优解：

$l(\phi_y,\phi_{j|y=1},\phi_{j|y=0}=\prod_{i=1}^mp(x^{(i)},y^{(i)})=\prod_{i=1}^mp(x^{(i)}|y^{(i)})p(y^{(i)})$

可以解得：

$\begin{align} \phi_{j|y=1} &= \frac{\sum_{i=1}^m1\lbrace x_j{(i)}=1, y^{(i)}=1 \rbrace}{\sum_{i=1}^m1\lbrace y^{(i)}=1 \rbrace} = \frac{统计所有包含词语j的垃圾邮件的数量}{垃圾邮件的总数}\\\ \phi_{j|y=0} &= \frac{\sum_{i=1}^m1\lbrace x_j{(i)}=1, y^{(i)}=0 \rbrace}{\sum_{i=1}^m1\lbrace y^{(i)}=0 \rbrace} = \frac{统计所有包含词语j的非垃圾邮件的数量}{非垃圾邮件的总数} \\\ \phi_y &= \frac{\sum_{i=1}^m1\lbrace y^{(i)}=1 \rbrace}{m} = \frac{垃圾邮件的数量}{邮件的总数} \end{align}$

通过以上的公式，我们已经可以完全推得$p(x_1, x_2, \ldots, x_{50000}|y)$。

Laplace 平滑

假设，训练集中，我们重来没有碰到过”_NIPS_”这个词汇，假设我们词典中包含这个词，位置是 30000，也就是说：

$\begin{align} p(x_{30000}=1|y=1) &= 0\\\ p(x_{30000}=0|y=1) &= 0 \end{align} \\\ \Downarrow \\\ p(x|y=1) =\prod_{i=1}^{50000}p(x_i|y=1)=0 \\\ p(x|y=0) =\prod_{i=1}^{50000}p(x_i|y=0)=0$

故而在分类垃圾邮件时：

$\begin{align} p(y=1|x) &= \frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x)} \\\ &=\frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x|y=0)p(y=0)+p(x|y=1)p(y=1)} \\\ &= \frac{0}{0+0} \end{align}$

所以，我们提出$p(x_{30000}=1|y=1) = 0$这样的假设不够好。

Laplace平滑就是来帮助解决这个问题的。

举例而言，在计算：

$\phi_y=p(y=1)=\frac{\text{numof(1)}}{\text{numof(0)}+\text{numof(1)}}$

其中，$\text{numof(1)}$表示的是，被分类为 1 的训练集中数据个数。

在Laplace平滑中，我们会采取如下策略:

$\phi_y=p(y=1)=\frac{\text{numof(1)}+1}{\text{numof(0)}+1+\text{numof(1)}+1}$

比如，A 球队在之前的五场比赛里面都输了，我们预测下一场比赛赢的概率：

$p(y=1)=\frac{0+1}{0+1+5+1}=\frac{1}{7}$

而不是简单的认为（没有Laplace平滑）是 0。

推广而言，在多分类问题中，$y\in\lbrace1, \ldots, k \rbrace$，那么：

$p(y=j) = \frac{\sum_{i=1}^m1\lbrace y^{(i)} = j \rbrace+1}{m+k}$

例三：垃圾邮件分类（2）

之前的垃圾分类模型里面，我们对邮件提取的特征向量是：

$x=[1,0,0,\ldots,1,\ldots]^T$

这种模型，我们称之为多元伯努利事件模型（Multivariate Bernoulli Event Model）。

现在，我们换一种特征向量提取方式，将邮件的特征向量表示为：

$x=[x_1,x_2,\ldots,x_j,\ldots]^T$

$x_j$表示词汇$j$在邮件中出现的次数。上述的特征向量也就是词频向量了。这种模型，我们称为多项式事件模型（Multinomial Event Model）。

对联合概率分布$p(x,y)$进行极大似然估计，得到如下的参数：

$\begin{align} \phi_{k|y=1} &= p(x_j=k|y=1) = \frac{C_{x=k}+1}{C_{y=1}+n} \\\ \phi_{k|y=0} &=p(x_j=k|y=0) = \frac{C_{x=k}+1}{C_{y=0}+n} \\\ \phi_{y} &= p(y=1) = \frac{C_{y=1}+1}{C_{y=1}+1+C_{y=0}+1} \end{align}$

其中：

$n$表示词典中词汇的数量，也就是特征向量的长度；

$C_{x=k}=\sum_{i=1}^m(1\lbrace y^{(i)}=1 \rbrace \sum_{j=1}^{n_i}1 \lbrace x_j^{(i)} = k \rbrace)$

表示在训练集中，所有垃圾邮件中词汇$k$出现的次数（并不是邮件的次数，而是词汇的次数）；

$C_{y=1}=\sum_{i=1}^n(1\lbrace y^{(i)} = 1 \rbrace \cdot n_i)$

表示训练集中垃圾邮件的所有词汇总长；

$C_{y=0}=\sum_{i=1}^n(1\lbrace y^{(i)} = 0 \rbrace \cdot n_i)$

表示训练集中非垃圾邮件的所有词汇总长；